Θεωρία του Χάους

Abstract

Η παρούσα πτυχιακή εργασία ασχολείται με την θεωρία του χάους, η οποία θεωρείται μια από τις σημαντικότερες θεωρίες του 20ου αιώνα. Η θεωρία αυτή ασχολείται κυρίως με τα μη γραμμικά δυναμικά συστήματα, τα οποία έχουν μια πολύ ευαίσθητη εξάρτηση από τις αρχικές τους συνθήκες. Με την πάροδο του χρόνου τα συστήματα αυτά μπορούν να παράγουν εντελώς απρόβλεπτες και χαοτικές συμπεριφορές. Στην χαοτική κίνηση, η ακολουθία των αριθμών που παράγει μία τροχιά δεν επαναλαμβάνεται ποτέ, ενώ όλες οι τροχιές, μετά από αρκετό χρόνο, συγκεντρώνονται τελικά σε μια περιοχή που αποτελεί τον ελκυστή του συστήματος, ο οποίος ονομάζεται παράξενος ελκυστής και είναι σύνολο fractal. Με τον όρο fractal καλείται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο βαθμό μεγέθυνσης και συχνά αναφέρεται ως απείρως πολύπλοκο. Το fractal παρουσιάζει επομένως την λεγόμενη αυτο-ομοιότητα επειδή όσες φορές και να μεγεθυνθεί, οποιοδήποτε τμήμα του θα συνεχίζει να παρουσιάζει ένα εξίσου περίπλοκο σχέδιο με μερική ή ολική επανάληψη του αρχικού. Η μελέτη της δυναμικής των μιγαδικών συναρτήσεων οδήγησε στην ανακάλυψη των συνόλων Julia, τα οποία είναι στην ουσία fractals και αποτελούνται από τιμές τέτοιες, ώστε μια αυθαίρετα μικρή διαταραχή μπορεί να προκαλέσει δραστικές αλλαγές στις τιμές μίας ακολουθίας, όταν αυτή επαναλαμβάνεται, και επομένως παρουσιάζουν χαοτική συμπεριφορά. Η μελέτη των τετραγωνικών πολυωνύμων των μιγαδικών μεταβλητών οδήγησε στο σύνολο Mandelbrot, το οποίο διαθέτει fractal χαρακτηριστικά και κάθε σημείο του οποίου αντιστοιχεί σε ένα σύνολο Julia. Πρόσφατα έχει ανακαλυφθεί ότι η θεωρία του χάους μπορεί να επεκταθεί και στην κβαντομηχανική, ενώ ήδη έχουν προταθεί πολλές εφαρμογές της θεωρίας του χάους σε μία πληθώρα τομέων, γεγονός που καταδεικνύει την σημασία της και τις σημαντικές προοπτικές περαιτέρω ανάπτυξης που αυτή διαθέτει.