Θεωρία ιδιοτιμών και ψευδοφάσματος και εφαρμογές στην θεωρία συστημάτων

Abstract

Στην εργασία αυτή γίνεται μια προσπάθεια μελέτης και εύρεσης των ιδιοτιμών ενός γραμμηκοποιημένου συστήματος με την τεχνική εύρεσης του ψευδοφάσματος. Σε θεωριτικό επίπεδο παραθέτουμε τους ορισμούς και τα θεωρήματα για τις ιδιοτιμές, ιδιοδιανύσματα και τα ψευδοφάσματα, κατά κανόνα με τις αποδείξεις τους, εργαλεία απαραίτητα για την πλήρη κατανόηση του αντικειμένου. Σε πρακτικό επίπεδο, επιλέγουμε τετραγωνικούς πίνακες για να σχεδιάσουμε τα ψευδοφάσματα τους γύρω από τις ιδιοτιμές που μας ενδιαφέρουν χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο pseinout που εκτιμά το φάσμα, και για αρκέτα τα όρια του - ψευδοφάσματος ενός τετραγωνικού πολυωνυμικού πίνακα. Στο πρώτο και δεύτερο κεφάλαιο δινόνται βασικοί ορισμοί για τις ιδιοτιμές, ιδιοδιανύσματα και γραμμικά συστήματα έτσι ώστε ο αναγνώστης να κατανοήσει τα κεφάλαια που ακολουθούν. Στο τρίτο και τέταρο κεφάλαιο αναλύουμε τα συστήματα αυτόματου ελέγχου και τις εφαρμογές των ιδιοτιμών σε συστήματα πολλαπλών εισόδων και πολλαπλών εξόδων σε συνάρτηση των μεταβατικών πινάκων κατάστασης. Τέλος, στο πέμπτο κεφάλαιο εφαρμόζουμε το ψευδοφάσμα σε συγκεκριμένες ιδιοτιμές για να εξετάσουμε την συμπεριφορά τους και βγάζουμε κάποια συμπεράσματα.